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做完今年中考数学卷,来看看怎么拿下最后一题?

看点今年中考数学,引起了大众不少关注。回归试卷,众多考生没有拿下的最后一题,“难”在哪里?值得关注的是,这些题目完全回归课本,没有一点超纲考查,却非常灵活。这些不套路的题目,对于我们今后小初高阶段的数学学习,又会有怎样的启发呢?

本文转载自公众号:鱼sir家长圈(ID: fishsiredu)

文丨鱼圈教研团 编丨袁梓曦

截至我们发稿前,全国各地大部分地区都已经结束中考。和高考一样,考试结束网上最先讨论的就是“今年考得难不难”这样的话题。

根据网上的消息,我们大概捋了一下:

北京、上海、江苏、重庆,安徽、青岛的考生普遍觉得偏难;

浙江考生觉得没那么难但全做出的人也不多。

整体来说,今年中考的数学不简单。

不过,难易这种事,因人而异,网上的调查也仅限于当事人观感,咱们还是就事论事,把考卷拿来做一遍再评判。

2024年中考落下帷幕

数学又“难”又“简单”

我们一般说数学考得难,指的是试卷最后一题难度,比如填空、选择最后一题,最常见是看整张试卷最后一题的难度。

普娃和牛娃的差距,或者说最后孩子是去普高还是重高,很大程度上要看这种题目能不能做出来。

因为该类题目分值比较高,如果没思路,那光一道题就能拉开10分左右的差距。在中考,也许志愿就得从上一档滑落到下一档了。

那我们具体来看一下这几个省市中考数学的最后一道大题。

北京最后一题,把函数和几何放在一起:

上海最后一题,几何题:

重庆最后一题,几何题:

浙江最后一题,几何题:

我们做了下这几道题,感觉“知识点”不难,因为解题中用到的都是课本内的知识,而且是非常基础的概念和定理。

比如三角形、四边形、圆的特征、平行垂直的性质定理,完全回归课本,没有一点超纲考查。

那考生反馈的“难”是落在哪里呢?

我们认为,是因为这些题目非常不套路。

知识点还是那些知识点,但考查的深度和灵活度和“刷的题”太不一样了!

我们就以没那么难的浙江卷为例,解题步骤不复杂:

本题在圆中内接了四边形,研究线与圆中四边形基本元素之间的关系:

角度大小关系、边位置关系、边数量关系,很多元。

这几个知识点之间不独立,环环相扣。

只有真正理解概念和定理,而不是单纯考记忆背出一些公式,才能在碰到这种题目时不慌不乱,抽丝剥茧,顺利下笔。

从前刷题强调的解题技巧,现在都用不上了,只有重视数学概念、原理以及法则之间的联系,理解透彻了,题也就不难了。

中考满分的秘密——几何

小学阶段能做些什么

从上面分析可以看出,这些省市的最后一题一般都会选择几何题,或者把几何和函数结合到一起考查。

我们翻看了往年的中考试卷,的确如此。

那么,对于家长和孩子来说,几何的学习就得好好琢磨了,特别是想要冲刺满分,目标“重高”的家庭。

小初高的数学体系可以大致分成三个模块:代数与计算、几何和统计与概率

我们重点看几何模块。

小学阶段的几何学习偏认知向:了解点线面、平面图形、立体图形的基本特征。

考试也特别简单,反而在几何计算中孩子失分的情况会更多一些,比如算周长和面积。

这里家长们要分辨一下,因为小学几何涉及的周长面积是很“直白”的,更多的是考“代数能力”,比如下面这题

很少有孩子是因为不会正方形、长方形的周长面积公式而错的。

所以,严格意义上,小学阶段的几何学习难度一点都不大。

初中阶段,几何学习要从初二开始:此时才对平面几何有了深度探究,要能想象、能割补、会添辅助线,这才是真正的几何入门。

几何和代数学习不一样。

做一道几何题,最重要的就是思考出解题的逻辑线。从已知条件出发,一步一步,严谨地推导出结论,完成证明。

而到了高中之后,接触的就是立体几何了,在难度上当然又升了一个台阶。不过在高中,会引入一个新的知识点——向量。

当孩子会用空间向量后,很多立体问题其实可以转为向量问题,那接下来需要的就是代数计算能力,和几何相关性没那么大了。

综合以上分析,我们认为对于几何学习,最精髓的部分其实是在初中,真正用几何思维来解几何问题。

这就难怪,一张中考卷,几何的分值大概占据40%-45%。

但是在小学阶段,几何学习确实比较浅;那么,对于学有余力的孩子,可以适当给他铺垫一些几何认知,这样衔接到初中几何会相对顺畅。

注意,我们不建议提前去学习初中几何内容,而是在小学阶段重点把几何的基础知识和性质好好摸透,搭建孩子的几何底层能力。

有关「课内」和「课外」的建议如下。

首先,一定要重视课内。

再次强调,小学阶段的几何知识很简单,但不代表不重要。

尤其是简单几何的概念和特征,他们是初高中几何学习的地基,所有高阶的几何推理都是从一个点、一条线、一个面开始的。

如果孩子只是记住了知识点,而没有去理解,遇到新题型,比如今年的中高考题目,自然觉得“很难”。

几何非常重视逻辑性,我们可以让孩子自己梳理出所学几何知识的思维导图;几何图形的一个性质到另一个性质是如何被推导出来的,最好都自己证明一遍。

能做到这一步,其实就是在课内学习的基础上又向下深挖了一步,这个地基打得就越稳。

在课内基础上,我们推荐做一些拓展。

学有余力的孩子,可以尝试接触小奥的几何体系,一些题目蕴含了不少几何思维,可以更深刻地理解几何之间的关系。

特别是它们涉及的原理都是当前校内知识,也就是说,没有需要超前和额外补充的知识点。

除此之外,家中可以提供一些几何数学读物给孩子,比起正儿八经做小奥题,看看书就“无痛”多了吧。

绘本类:《折纸的几何》《这就是几何》《DK我的第一本几何思维》《揭秘几何》《形状国的传说》

故事类:《几何王国大冒险》《几何真好玩》

阅读类:《图解奥数》《几何原本》《几何之美》《不焦虑的几何》

当然,一些几何的桌游也是很好的补充,尽量在孩子生活中渗透一些几何思想。

那么,等孩子上了初中,他可以从容应对几何的学习和考试。

把中高考数学最后一题放一起看

数学原理和数学思维是关键

讲完了中考,我们再往前多看一步,把今年高考卷的最后一题一起拿来比较下。

我们主要以新课标Ⅰ卷为例,因为Ⅰ卷参与的省市都是采用新课标的地区,也是教育改革的方向。

2024年数学高考新课标Ⅰ卷最后一题

今年考生普遍反映全国新课标Ⅰ卷最后一题,有点出人意料,考了一道新定义的数列题,属数论知识,当天考完出来发懵的考生非常多。

学生觉得“发懵”很大概率是因为这种题型完全没见过,而“数论”在整个小初高学习中都不是重点,只是浅浅接触了下。

甚至很多孩子都不知道这些知识点属于数论的范畴,比如整除、余数、进制都是数论里研究的内容。

数论的入门学习在小奥中会有一些,其余就完全是大学才会学到的内容。

因此有挺多博主就开始宣传,高中要提前让孩子学高等数学。

按照他们的理论,那孩子要学的东西可太多了,什么“极限与洛必达法则”、“微分中值定理与应用”、“凸凹性与偏导数”、“定积分与应用”……

难道不提前学一些大学知识,就考不好高考了吗?

不然。

参考人教版高中数学主编章建跃老师的解释和分析,其实解这题所必需的知识限定完全都在高中课本中。

章建跃:2024高考数学的启示《回归课标、重视教材才是王道》

虽然这里构建了一个新情境,但是前两问只要能读懂题,理解题目中给出的概念,找到有效信息,就能做。

第三问,有一些难度,构造了新的知识,但是题目中把关于数论的相关知识都告知了,考生需要的就是“依样画葫芦”。

它考查的是考生对新知识的现场理解能力,用数学思维现学现用,高效率地接受新知识并应用。

其实很多国内优质学校的自主招生,很早就开始采用“现学现用”的招生策略,因为这样可以更客观地挑选出学习能力强的孩子。

所以,我们认为,高考考到一些没有学过的知识,本意上不是为了单纯鼓励孩子去超前学;

而是希望通过一道“新题型”来筛选出真正有数学能力的孩子。

这里讲的数学能力,可以简单理解为:

遇到一个新的数学问题,学生可以从自己的“知识库”中,迅速组建起一套全新的解题逻辑,来应对新问题,而不是拿一个成品化的模具来试着套一套。

即这种能力无法通过反复刷题刷出来。

如此分析,会发现虽然中高考考查的知识点和难度完全不同,但考查方向和逻辑是一致的。

中高考的最后一题绝对不是考学生的“知识量”,它所注重的是“数学能力”。

而构建数学能力背后,需要的是对数学概念原理的理解并应用,即所谓的“数学思维”。

这一点,在孩子今后的数学学习中,是我们需要重点关注的。

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